Herpes I Ögat
}\\ Spegling i y -axeln Vid spegling i y -axeln ändras vinkeln \displaystyle v till \displaystyle \pi-v (spegelbilden bildar vinkeln \displaystyle v mot den negativa x -axeln). Speglingen påverkar inte y -koordinaten medan x -koordinaten byter tecken \cos(\pi-v) &= -\cos v\, \mbox{, }\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\, \mbox{. }\\ Spegling i linjen y = x Vinkeln \displaystyle v ändras till vinkeln \displaystyle \pi/2 - v (spegelbilden bildar vinkeln \displaystyle v mot den positiva y -axeln). Speglingen gör att x - och y -koordinaterna byter plats \cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\, \mbox{. }\\ \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\, \mbox{. }\\ Vridning med vinkeln \displaystyle \mathbf{\pi/2} En vridning \displaystyle \pi/2 av vinkeln \displaystyle v betyder att vinkeln blir \displaystyle v+ \pi/2. Vridningen gör att x -koordinaten blir ny y -koordinat och y -koordinaten blir ny x -koordinat fast med omvänt tecken \cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\, \mbox{, }\\ \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\, \mbox{. }
Alternativt kan man få fram dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man exempelvis vill ha ett samband där \displaystyle \cos v uttrycks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen för cosinus så att den passar med sinuskurvan. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller det sig att skriva \displaystyle \cos v = \sin (v + \pi / 2). För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på \displaystyle v. Kontroll: \displaystyle \ \cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)=1. Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, \displaystyle \sin(u+v). Man behöver då de s. k. additionsformlerna. För sinus och cosinus har formlerna utseendet \sin(u + v) &= \sin u\, \cos v + \cos u\, \sin v\, \mbox{, }\\ \sin(u – v) &= \sin u\, \cos v – \cos u\, \sin v\, \mbox{, }\\ \cos(u + v) &= \cos u\, \cos v – \sin u\, \sin v\, \mbox{, }\\ \cos(u – v) &= \cos u\, \cos v + \sin u\, \sin v\, \mbox{.
Definition från Wiktionary, den fria ordlistan. Hoppa till navigering Hoppa till sök Wikipedia har en artikel om: cosinus för dubbla vinkeln Svenska [ redigera] Substantiv [ redigera] cosinus för dubbla vinkeln (matematik) vanlig benämning på den trigonometriska identiteten Se även [ redigera] sinus för dubbla vinkeln Hämtad från " r_dubbla_vinkeln&oldid=2928746 " Kategorier: Svenska/Substantiv Svenska/Matematik Dold kategori: Svenska/Alla uppslag
Tack så jäääääääätte mycket för en jättebra förklaring smutstvätt och smaragdalena!! cos 2 x ≠ 2 cos 2 x - 1, utan det är cos2x som är likamed det. Annars är det rätt!
Den första formeln fås genom additionsformeln för cosinus. cos ( 2 x) = cos ( x + x) cos ( u + v) = cos u * cos v - sin u * sin v cos ( x + x) = cos x * cos x - sin x * sin x cos ( x + x) = cos 2 x - sin 2 x Sedan har man använt trigonometriska ettan för att uttrycka cosinus som sinus. cos 2 x = 1 - sin 2 x cos ( 2 x) = 1 - sin 2 x - sin 2 x = 1 - 2 sin 2 x Det går även att använda samma teknik på sinus för att få ut den sista formeln. sin 2 x = 1 - cos 2 x cos ( 2 x) = cos 2 x - ( 1 - cos 2 x) = 2 cos 2 x - 1 Ja, det är trigonometriska ettan som är i farten! cos 2 x = cos 2 x - sin 2 x = cos 2 x - ( 1 - cos 2 x) = cos 2 x - 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x - 1 cos 2 x = cos 2 x - sin 2 x = ( 1 - sin 2 x) - sin 2 x = 1 - sin 2 x - sin 2 x = 1 - 2 sin 2 x Jaha!!! Man omvandlar alltså först trig. ettan så man får fram antingen sin^2x= 1-cos^2x cos^2x= 2cos^2x -1 sen sätter man in en av dessa i dubbla vinkel formeln för cos2x= cos^2x-sin^2x, som är följdsats till additionsformeln Tänker jag rätt nu??
Den rätvinkliga triangeln till höger visar att \displaystyle (\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\, \mbox{, } vilket brukar skrivas \displaystyle \sin^2\! v + \cos^2\! v = 1. Symmetrier Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus. \displaystyle \begin{align*} \cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \end{align*} \qquad\quad \cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\ \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\ \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\ \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\ Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln. Spegling i x -axeln När en vinkel \displaystyle v speglas i x -axeln blir den \displaystyle -v. Speglingen påverkar inte x -koordinaten medan y -koordinaten byter tecken \displaystyle \begin{align*} \cos(-v) &= \cos v\, \mbox{, }\\ \sin (-v) &= - \sin v\, \mbox{.